Chapter 3 Tensor product ى كف ىوش. مكى ف ) V )جا ن ى كف ى فه ي ك مو ف لم م فو م属 ٢ م فو ة. ى ف ن ف فم ى ف مكى ف ن 属 مى مو و ى属 ل م ك م فو م属 ١ م فو ة ن مكف ق فم ى ه ىقى ك مل ن مكى ف ن م الله مو ى لم م属 ١.١.٢ ف مز ة. n فم ى ىق ف ه ى ى م مل ف فل ف م ف A ى ف ف ن ى ف م م ى مو ف م لم ى م ف n m n : ى فكى ى ى ف ن فم ق (x, y) (x 1,..., x n ) A(y 1,..., y m ). مو م ف م属 م فوك ىو ة. ى ف م م ى فو ف م ك ف م ف ى属 م属 ٤ م فو ة م ف ه ى مق ى属 م属 م ىو ء.لا فم ى ىقفي ى مو ف م ك ف ه ى ف ق ف属. مكف كم ن ك ل م : ى ك ك ف م مه : ف فم ى ن ى مو ن ى م م ف ف ف ى مى ك ل م ن ى فل ن موش م ىه ٢ ف م فم ى مه م属 مو ١ ف م ى م ف م属 نة. ف فم ى ى مو V م فوك ىو ة. ف فم ى ىق ك ن فو مط.ف م مك م فم ى ى م ىه ٣ فم ى ىق م م ق ف ى م ىل م ى مح م ف مو ف م مه ة. م مكف كم م ف..., 2 W U V 1 V.م ىو ى مك م ف م ف ى属 م属 مو ل ف 属 3.1 Bilinear maps Definition 3.1.1 A map f : V W U with the property that, for every v V and every w W, the maps x f(x, w) and y f(v, y) are linear, is called فم ى ىق (with respect to V and W ). فم ى - t In general, for every natural number t a map f : V 1 V 2 V t U is called (with respect to V 1,..., V t ) if, for every i {١,..., t} and every v j V j (j i), the map x f(v 1,..., v i 1, x, v i+1,..., v t ) is a linear map from V i to U. The set of all t-linear maps f : V 1 V 2 V t U will be denoted by ML(V 1, V 2,..., V t U). ى فم ى ى f فو فم ى فم ى - t مو م ه ف t و ى 属 ف ف ف 属 f مى م 属 نى وش. م ه ف t ى ن وكفم. م فك فىكم 属 - م 属 属 م ف م مب Example 3.1.1 (i) ك ل م ة V ف فم ى ىق م ف V V. مق فك م مكى ف n n ن ) ( n M مكف كم مو لم محمل ف ى م مل موش (ii) م ه ف n مو : ( مى ك n n n (n ن ف فم ى - n ف ف لم属 مى.( ( n M ى ى ف مو ن ك مو مو م ف 1
2 Chapter 3. Tensor product ك ل م ى مو ن ىوش. ف فم ى ىق ف منم لا ك ل في ل 属 مو م ند Exercise 3.1. ف فم ى ىق م ف ك ل ه ى 属 ن مو ف فو م ذ.م قف ف لمقى ك مل (i) ح ى فكى ى ى فح n ( ) ح n ( ) ح n ( ). م مو (x, y) x y 属 ق لم محمل 3 3 3 ك ل م د (ii) x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). -ى ف فك ل ف ى ىللف م ى属 - ى و ى属 U) ML(V 1, V 2,..., V t فو 属 وس Exercise 3.2 ى属 م属 وكىو属 مو مو ن مك م م ك ف ل ف مل فب). م مكف كم ف ى ى فكى.(i V ) ىل ( U ) ىل i ى ى م ىل مو فو نى مض (: و م مل ىو ل ك م د. W ل ف V ن ك ل ف فم ى وكىو 属 مكف كم ف ك ك مط ى ىللف ل و فو 属. W w ل ف v V و ى (v, w) 属 ىف ف ن V W م مو ن direct sum مو ف م ى ف م 属 مو ) 2 (v 1, w 1 ) + (v 2, w 2 ) = (v 1 + v 2, w 1 + w ل ف مل م 属 نة م ى. W ل ف V ن موش.م ى ك فك م 属 م نمق م ىكم ملف مق فو ك ل ف وك ن ى م مو س ف لم 属 مى في V W ف فم ى ىق ن لا ىف ل ف م ى في مو ى ك ل مو فو ل ف مل tensor product مو لم فك ى ن ف 属 م 属 ك ل موش. مو ن مو لا ف فم ى ه ى 属 ن مو ه ىن ى ف T مكف كم لامو في ف لم ى م كف فوك ى ة. W V ق لم مل ى ل ف. م - فوك Definition 3.1.2 Let T be a linear vector space over. We say that T satisfies the (with respect to V and W ) if there is a bilinear ك ل م مو ن م كى ى م كف map h : V W T such that the image of h in T spans all of the vector space T and, if, for every bilinear map f : V W U (with U a vector space), there exists a linear map g : T U with f = gh.. م ك ف هفىل ه ى 属 ن مو فو ه ىف ق ىو م م م ف م د f V W U h g T ك ل م مو ه ى فم كى س. ىو ى ف ل T م ى م مل م ىوش 属 فو كفن موش. T h : V W ف مو ن ف ق T مكف مو ن م ى م م ل ف :م ىكم م ىق م ى ف لم ف ن مق م نم مو ل و كىو ى م ف ك ل م موش h. h = ψ فو وك T ψ : T ف فم ى ف ى ) T ψ : (h, T ) (h, ىو و ف وكىو φ : (h, T ) (h, T ) 属 ىو و ف ى م مو نى isomorphism ف لم فك ى ψ ف.ψ ن م م ى مو ى T T ف فم ى ف Lemma 3.1.1 Any two vector spaces which satisfy the characteristic property of the tensor product of V and W, are isomorphic.
3.1. Bilinear maps 3 م مو ن م كى ى م كف فوك مو ن ى ف ) T h), ل ف ) T,h) و ق م س Proof: ك ل م مو ن م كى ى م كف فوك مو ء. W ل ف V كم م و ى属 ك ل و ى属 g : T T ف فم ى ف ى م م مو فو 属 ن ة ). T (f, U) = (h, و ى属 (h, T ) فم ى ف ى م م مو موش ). T (f, U) = (h, و ى属 (h, T ) م مو ء h. h = g مك ىس. h h = g g ل ف h = g g h و ق م فو م属 م نم موش. h h = g و ى属 g : T T ف ة. T لى = g g م ى属 م ى ل ف T لى = g g ل مح م属 فم ى ى h ل ف T ن ف ف ) W h(v g). ن فم ق) كىو ى م ف ) T (h, ل ف ) T (h, فو م م ل ف T ل ف T فو 属 ن مو ن ى ى محمل مو ف ك ل م مو ن م كى ى م كف فوك مو م ف ل ك مط كى ف ى ف مو ف ء!مك م ى م ى م 属 و م فو م 属 فو مك م W V ك ل م.ه ى 属 ن مو ى ك ل م مو ن ى ى محمل Definition 3.1.3 Consider the formal vector space A with basis all pairs (v, w) from V W. Let B be the linear subspace of A generated by all vectors of the form (v, w 1 + w 2 ) (v, w 1 ) (v, w 2 ) (v 1 + v 2, w) (v 1, w) (v 2, w) λ(v, w) (λv, w) λ(v, w) (v, λw) with λ, v, v 1, v 2 V and w, w 1, w 2 W. Then we define V W, ك ل م مو of V and W, as the quotient vector space A/B. ل ف نى ف ى م ىل م ى مح ى ٣.١.٣ ى ى محمء ن A مكف كم مو فو 属 وس Exercise 3.3. ف ى م ىل م ى مح م ف W ل ف V ل ف م ى مح ى نى h ف فم ى ىق مو م م 属 ك ل م مو ن م كى ى م كف فوك مو م ى مل ش ML(V, W A/B) م ىه ق h(v, w) = (v, w) + B. Proposition 3.1.1 The tensor product V W of V and W satisfies the characteristic property of the tensor product. ى فق م م ن A/B ى,v) (w + B ف ك م لى م مو فو مم م属 مكف مح مو ة Proof: h(v ق لم ف ى A/B لممل ى فو h مل مهف ى ف ف فم ف A ن (w,v) م م م مو ى ف ل ن مق فك g فو مم ش. ف فم ى ىق ف مق f : V W U م 属 خ.( W : م 属 - م属 مو م م属 ٣.١.٢ ى ى محمء ن ف هفىل م ى ف ك م ى ف ى م مو مو ( k ) م ى لم ىف ك B و ى 属 ف فم ى ف ى k : A U نة A. a ف ن k(a) g(a + B) = و ى g : A/B U 属 ف فم ى w) k(v, w) = f(v, w) ((v, ق لم ى م مل k : A U ف فم ى مو م ىو ف مط (. ف فم ى م ى ف م ى م مل ىو A ن ى فق ف م ىه ى k مك ىس).( W V ف ف ى م مو فو مل ك ك مط.( k ) م B فو مى ى فم ى ىق ى f فو كفن موش g : A/B U و ى属 g((v, w) + B) = f(v, w) ف ن v V ل ف w W و ى属 f = gh. Theorem 3.1.2 Suppose m = W ) ىل ) is finite. Then V W = L(V, W ).
4 Chapter 3. Tensor product ف فم ى ىق مو و ى 属 لم ى م ( W L(V, فو 属 و مط Proof: h : V W L(V, W ) م ىه ق h(b, w) = (v b(v)w), م مو مو موش. W ل ف V ن ك ل م مو ن م كى ى م كف فوك مو ممح ى ف.٣.١.١ ف مج ن 属 ن فو وك V b i ف ى ك ن فم ى م ف م مو ) W a L(V, ء. W ن (w i ) i ى فق ف م و ن مهف ى مو ن ) W L(V, ى ف فم ى مو ى ى ) i a = i h(b i, w ) i a = (v i b i(v)w h. م ىه g : L(V, W ) U ف فم ى مو موش. ف فم ى ىق ف مق f : V W U م 属 خ ق g(v i b i (v)w i ) = i f(b i, w i ) :م ى ف ك ف هفىل ه ى 属 ن مو م ف f V W U h g L(V, W ) م مو ن م كى ى م كف فوك مو ممح ى ف (( W,h) L(V, ىف مو فو مم م فو مط. م مو مو ن ن مو ن مكffi ىوش. W ل ف V ن ك ل. ف ى م ىل م ى مح ى W نى ه 属 م ه م مو مو م مو 属 م فهى م ة Exercise 3.4 U = L(U, فو 属 ن ى م مو مو ء Remark 3.1.1 U ) = ف فك ىو.! ىو نى مض. كم ىل مم مق ف فم ى مو ٣.١.٢ م موش Remark 3.1.2 V W L(V, W ) لم ى م مل ق f w (v f(v)w). ىو ى ف ى ف فم ى مو V ف ى م ىل م ى مح ن م ى 属 م ىج V W L(V, W ) لم ى م مل ق v w (f f(v)w). ىو ى ف ى.٢.٢.١ ى ى محمء ه ى 属 ن م ك مو و ى 属 ىو م ف ف فم ى مو فو 属 وس Exercise 3.5 V W W V لم ى م مل ق v w w v. ىو ى ف ى ف فم ى مو فو 属 وس Exercise 3.6 (U V ) W U (V W ) لم ى م مل ق (u v) w u (v w) م属 م مو属 ) م ف م مو م ف مو م مو属 م ف م ل م نم مو ة. ىو ى ف ى. ك ل م م ى ف ى (ه ى ى م ف مو م فك ى مو
3.1. Bilinear maps 5 م ذ Exercise 3.7 ML(V 1, V 2,..., V t U) = L(V 1 V 2 V t, U). Proposition 3.1.2 (Basis of a tensor product) Suppose V and W are finite dimensional. If (v i ) i is a basis of V and (w j ) j is a basis of W, then (v i w j ) i,j is a basis of V W. In particular we have ). W ) ىل ) V ) ىل = ) W V ) ىل - موش ق م فو م 属 م نم موش. V V = م فو م 属 ف ى م ىل م ى مح ى V مك ىس Proof: ى لم فكىل ى ف ىكى م ىو ى مو م ف فك مط.( W V W = L(V, فو ٣.١.٢ م :٣.١.٢ ف مز ψ : V W L(V, W ) v w (f f(v)w) (f V, v V, w W ). ى (ψ 1 (f f(v i )w j )) i j = (v i w j ) i j ل ف ) W L(V, ن ى فق ف ى 属 (f f(v i )w j ) i j خ. W V ن ى فق ف مج Remark 3.1.3 V = م م ى 属 فك م属 L(V ) = V V فو كفن مو ه ى ص. n ك ف ى م ىل- n ف ن y x م موش. V V ى كم ف مكى ف n n كم x ن V = مو و ى属 ل م ك V ن y كم 属 ف ى م ىل- n ف ل ف n = z)x (y ن) xy ى ف ١ ف مو و ى属.م.ى ) L(V z (y z)x ى ف ن ف فم ى x(y z) = (xy )z). Corollary 3.1.3 A linear transformation on a finite dimensional vector space V has rank at most r if and only if the corresponding element in V V is the sum of at most r distinct matrices of rank 1. ى ف ن ف فم ى لم فىك ف مو ن مهف ى مو نى ل ف نى r ف فو ى ف ء Proof:.r ى م ىل فو مو ن ى ف مو ى (x xy = ψ(y ن مو ن ى ى ف ١ ف م م مكف مح مو ة.١ = r م فك مو ى ل و م ه ى م ف م属 م م ف مو س.٣.١.٢ ى ى ذ ن ن م م ى r ف ن مو ى g V V كم ف فو كم ىل 属 ن ى ىو ء r ف ق لم ف ى ) L(V ψ(g) ى ف ن ف فم ى لم فىك ف مو نى ل ف نى. كم ك ى ىل ى ف مو م ى ط Exercise 3.8 ٧٤ ٨٨ ١٠٢ A = ٨٢ ٩٨ ١١٤ ٩٠ ١٠٨ ١٢٦. مكى ف ١ ف 属 ن ف ف م ف ى م م م ى 属 ن ف ف ن ف ى A ى ف م ف ف م كمل وكىو属 و ى ه ف ف م ى ط Exercise 3.9.١ ف ن مكى ف ( A ) ف
6 Chapter 3. Tensor product. ى م ف ه ى 属 ن مو م م W ل ف V مكف كم ء Exercise 3.10 (i) ML(V, W ) = (V W ). (ii) (V W ) = V W. 3.2 Tensor product of linear maps م ف م م ى م ك ن ل 属 م U V 属 ك ل م مو لم ك ك م فو م 属 فو 属 خ. V U ف فم ى V ل ف U ف فم ى Theorem 3.2.1 For A L(U, W ) and B L(V, T ) the requirements u v Au Bv (u U, v V ) determine a linear map in L(U V, W T ). This map only depends on A B L(U, W ) L(V, T ), so there exists a linear map L(U, W ) L(V, T ) L(U V, W T ) determined by ( A B u i v i ) Au i Bv i. i This map is an isomorphism. i كى ى م كف فوك موش. فم ى ىق ى f(u, v) = Au Bv و ى f : U V W T 属 ف موش Proof: ف فم ى ىق ل فل ف مو لمى ف (٣.١.٢ ى ى محمء) ك ل م مو ن م ف كى ف ة gh. f = و ى g : U V W T 属 ف فم ى ف ل مى V h : U V U V v ل ف u U ن g(u v) = gh(u, v) = f(u, v) = Au Bv,. م م ف مح مو ه ى ) T L(U, W ) L(V, ف فم ى ىق ف ن م ى ى g ىو ل م مو (B,A) ه ىل م ف موش 属 و ك ل م مو ن م كى ى م كف فوك مو ه ى ف ىفهف س.( T L(U,V W B. A ل م مل g فو م ف مو م فو مه ف ل ف ىف ل مك ىس. ىو ى ف ى ف ىو فو م ىف مز فو مم مكffi ى (٣.١.٢ ى ى ذ ل ف ٣.١.٢ م موش ن 属 ن ىو ) ى م ىل.ن م ىو م ذ.مهف ى مو ى ى ) T g L(U V, W م م مه م 属 مو T V = ل ف U = W م ف م 属 نة Corollary 3.2.2 L(U) L(V ) = L(U V ). موش. W ن ى فق ف مق f 1,..., f m م ل ف V ن ى فق ف مق e 1,..., e n مج Remark 3.2.1 كم م و ى属 مح) فكىو ف ه كى م مكىل ى مو مل م属 نة. W V ن ى فق ف ى e) i f j ) i j وكىو属 L(V W ) ى ى ف ن ف فم ى مو ن ى ف مو مو (j كم م و ى属 مو i ى ( L(W م ى كم م ) L(V ى ى ف ن ف فم ى ن B ل ف A مكى ف مو ه مق A 1,1 B A 1,2 B... A 1,n B A 2,1 B A 2,2 B... A 2,n B A B =.... A n,1 B A n,2 B... A n,n B
3.2. Tensor product of linear maps 7 نى م ف م ء ( ) u v A = x y ua ub uc va vb vc a b c ud ue uf vd ve vf ug uh uk vg vh vk = B A مو, f A = d e ل ف. xa xb xc ya yb yc g h k xd xe xf yd ye yf xg xh xk yg yh yk ن ى ف - ٦ ٦ مو و ى L( 2 ) L( 3 ) 属 ن A B م م م مو ممحى ملى ف ن ىوش L( 2 3 ) = L( 6 ). Corollary 3.2.3 If A, C ح m ( ) and B, D ح n ( ), then (A B)(C D) = AC BD. Exercise 3.11 ن مو م ذ 属 ن م م ف ه ى A L(V ) ل ف B L(W ). (i) نة A ى مو م ى ى A.B (ii) نة A ل ف B ى مو م قف ى ف هفىل م ف A.B (iii) A ) ف B) = ( A ) ف.( B ) ف (iv) A ) مل B) = ( A ) مل n ( B ) مل m 属 م مو m = V ) ىل ) ل ف n = W ) ىل ). (v) A ) B) = ( A ).( B ) م ى ) L(V A B ن فى ف ى ى مو ) L(V A, B ن ة Exercise 3.12 B ل ف A ق لم ى م مل. ف م ى م م ى م ىك م م ىوش Exercise 3.13 و ق C ل ف B و ى B C 属 ن مو ن ى ى مو 属 م ى م مل A ى ف ٤ ٤ ف ء (i) مىكffiم ك مو ى ى ف م ن م ف م 属 ف ف ف م ىه ف ع. مكى ف ٢ ٢ فك ىو ى ىل ك ىف مك ن ى ف م فو ) 属 مق مم ) م ف مهىم موش : ىب[.A ن م ف 属 ن ف قمه ف م ك م ص.A ن مىكffiم ك مو ى ىل ك ى لم م م مق ]. م ى م م ى ف ٤ ٤ م م فو م مو و ى k 属 مق ف ف م ف مو م ى م مء (ii). مكى ف ٢ ٢ 属 ن م k ف ن ف ف م ى 属 مق فك م A فو ل و ى B ل ف A مكى ف م ف 属 ن فو 属 وس Exercise 3.14 (A B) = A B.
8 Chapter 3. Tensor product 3.3 Hadamard matrices. كى ى ف ى م 属 م ل فو فو ى ف ن م فىكم ف ف 属 م 属 ى فكى ف ف ء Definition 3.3.1 A ى ف ل ف فلفب is a square matrix H of dimension n satisfying HH = ni n, and with each coefficients either ١ or ١. ء Example 3.3.1 n مو = ١ 属 م ف مكى ف ل ف فلفب H = (١) ل ف H = ( ١). = ٢ n ء ( ) ١ ١ H = ١ ١. ى ف ل ف فلفب ف ى م فو م属 مو ٤ n و ى属 ى ف ل ف فلفب ف ى ) ( n ح H نى فو م ذ Exercise 3.15 ٤). ل ) ٠ n.٤t ى م ىل ن ى ف ل ف فلفب ف ى م م مو t وكفم ن مو مو 属 م ق م ف ى ة ل ف فلفب ى م م مو نى mn ى م ىل ن ى ف ل ف فلفب ف م ف مو ك ل مش.n ل ف m ى م ىل ن B ل ف A مكى ف Theorem 3.3.1 If A and B are Hadamard matrices, then so is A B. Proof: (A B)(A B) = ) B (A B)(A ٣.١٤) م ىك م ) = BB AA ٣.٢.٣) ف ) = mi m ni n = mni mn. 3.4 Bilinear forms and matrices -ل ف مل :م ف مل ن ى م فك م属 م مو属 مهف مو لموكفم 属 م فو مط V مكف كم ف ن فم ى ىق موش. ن فم ى ىق ن م ك ف فل ف ف ى ف ف ه ى ML(V, V ن م م م مو م ف ن ) V V) ن م م م ف لم属 مى مق ف فك مو ق ( V V ن م م م ف ف ٣.١٠) م ىك م مم ) L(V, V ). مو ق لم ى م مل ى f مو V ن e i ى فق ف م وك م属 نة. V ن فم ى ىق ف مق f مج ) j f i,j = f(e i, e مق و ى属 V نى ملى م属 نة. ى ف مو مو i (e i ) ى فق ه ى n ممح ى ف A f = (f i,j ) i,j f(x, y) = x A f y. - ك ف مك ىس. ى ف ن ف م ف ىل ك ف مل مه فوك 属 A f و م فهى م ى ف 属 مط مو 属 و م فهى م ى مح فو م V )جا ( 属 ه مو ن م م م ف ى ى ف ن ف م ف ىل.لمقى ك مل مق فك V V )جا ) ن ى كف. ى كف ف ق فم م 属 فو 属 ىف م م 属 و ى 属 ف ش
3.4. Bilinear forms and matrices 9 Definition 3.4.1 An ى كف of a group G on a vector space V is a map G V V such that (i) v g v L(V ) for all g V )جا ), (ii) id v = v for all v V, and (iii) (g h) v = g (h v) for all g, h V )جا ) and v V. Example 3.4.1 وش (g, v) g(v) ن ى كف ف ى V )جا ) V. مو ى ىوش natural action. مو W ل ف V ى كف ى لف G ه ف نة 1 gfg (g, f) ق م ىه ف مو ى ) W G L(V, ن conjugation action مو ق م ىه G V W V W ف مو ى G V W ن diagonal action مو (g, i v i w i ) i gv i gw i ى كف ف ل مو ء). 1 fg (g, f) ق م ىه ف مو ى V G ن dual action مو (.١.١.٥ ى ى محمء ف مم ( L(V, V = لممل ة. ى كف ى فه ي ك مو ن م فك فىكم ف ى ى كف ف ل مو فو نى مض. 1 fg gfg 1 = فو λ) (g, λ) فى.م.ى) فى ى كف G ل ف ى ف ف م مو فو ى V V )جا ) ن ى كف مو ه ىل ف مل ى ى ف م ق م موش ى ك ن V V, لم ى م مل ق f v f(v) ى V g f نى فو فم فوش. ى ف ن ف م ف ىل ك ف ل م مل لم 属 ف ى م فو م 属 مو ( V )جا g مل V f ن مهف ى مو (g f)(gv) = f(v) ف ن v V, f V. فو 属 ن م فىلم ى ى ىو ء Lemma 3.4.1 Necessary and sufficient for the evaluation V V (determined by f v = f(v)) to be invariant under the group V )جا ) in her natural action on V is that V )جا ) acts in the dual action on V ; i.e., via g f = f g 1 for all f V. مو ق م مل فو م属 属 م. مكى ف ن مهف ه ف مو ى ىو م ف ن ف فك مط ) م م ى مو مو ل ف لم ف مو م ف مح :لام م ى لم ف في مو م م.( م ف م ل مل مو ل ف ف属 مو مو Lemma 3.4.2 The action of, n )جا ) on n dual to the natural action is given by (T, v) T v (T, n )جا ), v n ).
10 Chapter 3. Tensor product س. n x ف ن (T f)(x) = f T 1 (x) = y T 1 x ل مح م属 مو y f = نة Proof: وكىو属 ١.١.٥) ى ى محمء مم كم 属 ن ه ى ى ك) ) n, n )جا ) ( T ن ى كف مو ق م ىه ى فى ف ى ى ف ف م م فم y y T 1 (T, n )جا ), y n ). ن ى ف مو ه ى ى م مل ل ف ) n ( ن e i ى فق مو ه ى وك ق 属 ن 属 ف م موش. ى فق ىو كم م و ى属 y y T 1 ى ف ن ف فم ى مو م س Exercise 3.16 属 م ف م م ىه 属 ه ف ن ى كف :G م V م ل ف W. م مو فو 属 وس. فى ف ى م- G لم فك ى g G ف ن φg = gφ فو وك φ : V W ف ء : م فك ه ى 属 ن مو ى φ ىو ى فى ف ى م- G م ف (i) φ : V W L(V, W ). (ii) φ : ML(V, W ) L(V, W ). Lemma 3.4.3 If V = n and T V )جا ), then the action of T on f ML(V, V ) with matrix A f is given by T T A f T 1. Proof: (T f)(x, y) = f(t 1 x, T 1 y) = (T ١x) A f T 1 y = x (T A f T 1 )y. 1 T T A f A f ن ف T س.م.ى ى ف ن ف م ف ىل ك ل ن فم ى ىق ى لم م م ى م ف فم م属 属 خ ىو ف م属 مو مو属 م ف م ل ى ىو ء.( V )جا ) ML(V, V ن ىق مو ى. g g ىو ف مو و ى属 لم ك م.م.ى ف ل مو ى كف Definition 3.4.2 If we take the dual action of Lemma 3.4.3, then we are dealing with the action of, n )جا ) given by A SAS for S, n )جا ). We call this action the ك م ه ك. ى كف Matrices (bilinear forms) in the same, n )جا )-. م ه ك orbit under this action are called م فوك م مو ة. ى كف ى فه ي ك مو ن م مffىل لممل ى ى ى كف ىو فو مكى خ. ى كف ىو مل ) V )جا ن ىق مو ل فو م 属. ى كف ك م ه ك مو ى ) 2 ( 3 ح (2, ٣ )جا ن ىق مو م ى م مء Exercise 3.17 f h ل م g :م نمق ف م ىه ى V V ى كف-( V )جا ف ف موش Exercise 3.18 ل属 مو ة ) V (V ى كف مو و ى属 ملىك ى ك ى كف ىو م ء. 1 g f g 1 h ) V )جا ن ى كف فو属 و ىط. ) V V V (V ىو ى فى ف ى م-( V )جا ف م ىه ملىك ى ك V V ى كف مو م ل ) V L(V,
3.4. Bilinear forms and matrices 11 م مو ى ن فم ى ىق ن م ق ك م ه ك مو ن ى ف م ىا Exercise 3.19.م فك ف ى م ىل ق ن فم ى ىق ك م ه ك مل ىق -( V )جا ف م فهى م ى ى 属 م 属 كفن ة ل ف ن فم ى ىق ه ى ف م ف مو : ن فم ى ىق فىكم ه مق فو ىق م و. ن فم ى ىق كى م مو ) Theorem 3.4.4 Suppose has characteristic not equal to 2. Then the linear space ML(V, V of all bilinear forms on V is a direct sum of the linear spaces and S(V ) = {f ML(V, V ) f(x, y) = f(y, x) for all x, y V } A(V ) = {f ML(V, V ) f(x, y) = f(y, x) for all x, y V }. Both subspaces S(V ) and A(V ) are invariant under the congruency action of V )جا ). ف م ى 属 مق فك ) f ML(V, V م م م ف ىق ف ء Proof: (x, y) (f(x, y) + f(y, x))/٢ + (f(x, y) f(y, x))/٢. ) ML(V, V ن م ق 属 م مو.( A(V ل كم مو ( S(V ه مق ل ف مح موش = (x f(y, م فو م 属 مو ( A(V f S(V ) نى : م» ى ى كم م ى ىموش. مكف ق فم ى م ف f(x, y = f(y, x) ٢f(y, x) = ٠ f(y, x) ف ن = ٠ x, y V. = (y f(x, فو وك ١± = ɛ م وك م 属 م مو مو ن ل م مو ف م م ف مو م ش ɛf(y, x) ف ن x, y V. ن ى موش 属 ن فو g V )جا ) (g f)(x, y) = f(g 1 x, g 1 y) = ɛf(g 1 y, g 1 x) = ɛ(g f)(y, x) ١). = ɛ و ى f S(V ) ( 属 نى ) S(V g f ل ف ١) = ɛ و ى f A(V ) ( 属 نى ) A(V g f فو ) Definition 3.4.3 Let be a field of arbitrary characteristic. A bilinear form f ML(V, V is called ه ى ف م ف if f(x, x) = ٠ for all x V, and f is called كى م if f(x, y) = f(y, x) for all x, y V. In matrix terms: if A represents the linear form f (so f(x, y) = xay ), then f is symmetric if and only if A is كى م (i.e., A = A), and f is alternating if and only if A is i). = ٠ for all i,i (i.e., A = A and A ه ى ف م ف. ى كى م ى f نى ل ف نى ) S(V f فو ( ى ى محمل ق) فم ك ى ة Remark 3.4.1 ل ف نى ) A(V f فو ل و ف ى ٢ ف م كى ى م كف فوك ن ل ممح ف ى نى فو نى مض.ه ى ف م ف ى f نى مو n V ) ىل ) = نى فو م ذ Exercise 3.20 ( ) n + ١ = )) S(V ) ىل = (( A(V ) ىل ل ف ٢ ( ) n. ٢
12 Chapter 3. Tensor product