Čo má spoločné družica New Horizons a pingpong

Čo má spoločné družica New Horizons a pingpong Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com https://www.youtube.com/user/matfyzjein http://fks.sk/~juro/phys_matfyzjein.html Nedávno sme mali možnosť sledovať, ako družica New Horizons preletela okolo Pluta a zozbierala o tomto vzdialenom objekte veľa cenných informácií. V tlačových správach o tejto udalosti sa často spomínalo, že družica v roku 2007 preletela okolo Jupitera, aby nabrala rýchlosť. Tento manéver bude témou tohto textu. Povieme si, ako a prečo funguje napriek tomu, že to na prvý pohľad znie veľmi nedôveryhodne. Obr. 1: Družica New Horizons v plnej kráse. Gravitačná katapultáž Čosi via o sonde New Horizons Soundu New Horizons vypustila NASA v roku 2006, s cieľom po prvý krát z blízka preskúmať (vtedy ešte planétu) Pluto a jeho mesiac Cháron. Misia bola plánovaná od roku 2001 a k Plutu sa dostala v Júli 2015. Po ceste viac menej náhodou stretla jeden z objektov pásu asteroidov medzi Marsom a Jupiterom, svojimi prístrojmi zozbierala nové údaje o Jupiteri. Ešte pred príletom k Plutu objavila jeho doteraz nepozorované mesiace. Pri prelete okolo Pluta potom získala množstvo informácií rôzneho druhu, dôležitosť ktorých sa dá len ťažko prehnať. Na záver svojej misia získava informácie o objektoch Kupierovho pásu. Článok na wipédií vám o nej rád prezradí oveľa viac. Pre predstavu, je veľká asi ako koncertný klavír a vyzerá takto. 1 Vráťme sa ale k preletu družice New Horizons okolo Jupitera. Z pohľadu misie to nebol nijak významný okamih, avšak my sa na ňom predsa len čosi naučíme. Preletom okolo veľkých vesmírnych telies s cieľom zvýšiť rýchlosť sa hovorí gravitačná katapultáž. Sonda preletí okolo planéty, pri tom sa na nej zhojdne a odletí preč oveľa väčšou rýchlosťou. To umožní dopraviť sondu ďalej a rýchlejšie a ušetrí nemalé prostriedky. Ak by sme totiž chceli na získanie tejto rýchlosti použiť palivo, museli by sme ho vyniesť do kozmu. Na to by sme potrebovali po ceste spáliť viac paliva. A na vynesenie tohto paliva by sme potrebovali ďalšie palivo. A tak ďalej. Množstvo paliva potrebné na dosiahnutie danej rýchlosti rastie exponenciálne a každé získanie rýchlosti zadarmo padne vhod. 1 "New Horizons Transparent"by National Aeronautics and Space Administration (NASA), Applied Physics Laboratory - "PEPSSI Instrument Tastes Pluto s Atmosphere"from the Applied Physics Laboratory New Horizons website. 1

Prvé teoretické koncepty podobného manévru pochádzajú zo začiatku dvadsiateho storočia, v takejto podobe bol prvý krát podrobne popísaný v roku 1961 a v nejakej forme ho použili všetky planetárne sondy od roku 1974. Obr. 2: Odpálenie loptičky pingpongovou raketou. Znie pekne, ale málo uveriteľne. Keď sa družica blíži k planéte, tak zrýchľuje vďaka gravitácii planéty, ale keď sa od nej vzďaľuje, tak ju tá istá gravitácia brzdí a v konečnom dôsledku nemôžeme nič získať, ako nám hovorí zákon zachovania energie. Manéver napriek tomu funguje a hojne sa používa. Ako je to možné? Takto. Na obrázku vidíme, ako sa stojaca loptička od rakety odrazí väčšou rýchlosťou, než sa pohybovala raketa. To si vysvetlíme postupne v troch krokoch. Krok prvý: hádzanie loptičky o stenu Ak si hádžeme loptičku o pevnú, nehybnú stenu a ak je odraz loptičky pružný a nestráca sa pri ňom energia, loptička sa k nám odrazí rovnakou rýchlosťou, ako sme ju hodili. Jasné ako facka. Pre konkrétnosť si zoberme situáciu, v ktorej hádžem loptičku rýchlosťou 10 metrov za sekundu. Loptička sa teda odráža späť opäť rýchlosťou 10 metrov za sekundu. Obr. 3: Zmena rýchlosti loptičky pri hádzaní o stenu. Krok druhý: hádzanie loptičky vo vlaku Zložitejší, a pre nás kľúčový prípad. Loptičku hádžeme v idúcom vlaku o zadnú stenu vagóna. Lokomotíva udržiava konštantnú rýchlosť, nech je to tiež 10 metrov za sekundu. Pre mňa vo vlaku musí odrážanie loptičky dopadnúť rovnako, ako keď ju hádžem o nehybnú stenu. Jedno zo základných tvrdení mechaniky hovorí, že žiadnym experimentom nemožno rozlíšiť sústavu, ktorá sa hýbe rovnomerne priamočiaro od 2 Hovoríme o Galileiho princípe ekvivalencie. 2

sústavy, ktorá stojí. 2 Keďže hádzanie loptičkou je experiment ako každý iný, loptička sa bude po odraze vzhľadom na vagón pohybovať rýchlosťou 10 metrov za sekundu smerom ku mne. Ale ako to vyzerá pre človeka, ktorý stojí pri koľajniciach? K rýchlosti loptičky musí pripočítať rýchlosť vlaku. Takže pred odrazom má loptička nulovú rýchlosť, pretože jej rýchlosť vzhľadom na vlak sa odčíta od rýchlosti vlaku. Po odraze má rýchlosť 20 metrov za sekundu, pretože sa tieto rýchlosti sčítajú. Obr. 5: Zmena rýchlosti loptičky pri údere raketou (hádzaní o stenu vo vlaku bez vlaku). Jupiter Obr. 4: Zmena rýchlosti loptičky pri hádzaní o stenu vo vlaku. Premyslieť si všeobecnú situáciu už nie je ťažké. Ak sa vlak pohybuje rýchlosťou u a loptička rýchlosťou v, vzhľadom na stojaceho pozorovateľa má pred odrazom rýchlosť v u a po odraze v + u opačným smerom. Vidíme, že loptička po odraze okrem svojej rýchlosti získa dvojnásobok rýchlosti steny. Krok tretí: tlačidlo delete Posledný krok je už len odstránenie vlaku, nahradenie zadnej steny pingpongovou raketou, a je to. Podstatné bolo, že raketa, podobne ako stena vlaku, pri zrážke nebrzdila a loptičku pretlačila. Obr. 6: Zmena rýchlosti loptičky vo všeobecnom prípade. A čo sa dialo s družicou New Horizons pri prelete okolo Jupitera? Jupiter zohral úlohu steny a rakety. Keďže je neporovnateľne ťažší ako sonda, jej prelet si ani nevšimol a pohyboval sa ďalej, 3

družicu pretlačil a družica si po prelete odniesla okrem svojej rýchlosti aj dvojnásobok rýchlosti Jupitera. Gravitácia teda pohyb družice nezrýchľovala, jej úloha bola iba v sprostredkovaní interakcie medzi planétou a sondou. Hmotnosť sondy New Horizons je približne 0, 5 10 3 kilogramov, hmotnosť Jupitera je 1.9 10 27 kilogramov. V poslednej časti vypočítame, že prelet sondy zodpovedá zmene rýchlosti Jupitera o asi 10 20 m/s. Sami uznáte, že to nie je práve veľa. Okrem toho okolo Jupitera lietajú oveľa ťažšie veci ako naša sonda a menia jeho rýchlosť oveľa viac. Raketové športy Obr. 7: Zmena rýchlosti družice pri prelete okolo Jupitera. Poznamenajme, že New Horizons neletela presne oproti Jupiteru a teda zmena jej rýchlosti bola o čosi menšia, avšak stále významná. Vysvetliť to nie je ťažké. Povedzme, že by sme vo vlaku pri hádzaní loptičke udelili rýchlosť 10 m/s proti stene ako predtým, ale k tomu ešte ďalších 10 m/s smerom nahor. Z pohľadu človeka pri koľajniciach by to potom dopadlo nasledovne. Loptička sa najskôr pohybuje rýchlosťou 10 m/s smerom nahor, po odraze tou istou rýchlosťou smerom nahor a k tomu rýchlosťou 20 m/s smerom doľava. Po odraze má teda jej rýchlosť veľkosť (10 m/s) 2 + (20 m/s) 2 22.36 m/s. Vidíme, že veľkosť rýchlosti sa zmenila o menej ako dvojnásobok rýchlosti vlaku. Posledná otázka je, kde sa berie energia na zrýchlenie loptičky, resp. družice. V prípade loptičky prišla energia z mojich raňajok, moje svaly tlačili raketu proti loptičke a vykonal som prácu. Družica získala energiu od Jupitera, ktorý pri zrážke energiu stratil. Avšak vzhľadom na obrovský rozdiel v hmotnostiach týchto dvoch telies je pri takejto strate energie zmena rýchlosti Jupitera zanedbateľná. Ako sme videli na príklade pingpongu, raketové športy tento efekt hojne využívajú. Loptička pri údere raketou doslova odletí. Keďže loptička nie je oveľa ľahšia ako raketa, je kľúčové, že ide o úder a nie o zrážku. Preto je pre správne fungovanie tohto efektu dôležitá správna technika úderu, pri ktorej hráč tlačí raketu cez loptičku počas ich kontaktu. Gravitačné brzdenie Podobný manéver sa dá použiť aj opačne, na zníženie rýchlosti. To je dôležité pri planetárnych misiách smerom k Slnku, pri ktorých po opustení gravitačného pôsobenia Zeme družica k Slnku spadne bez problémov sama, avšak je problém jej pád v správnom momente zastaviť. Ako to funguje je ľahké vidieť pri hádzaní loptičky o prednú stenu vlaku. V sústave spojenej s vlakom hádzanie opäť vyzerá rovnako, rýchlosť 10 metrov za sekundu pred a po odraze, avšak tentoraz sa rýchlosti sčítajú pred odrazom a odčítajú po odraze. Takže pozorovateľ stojaci pri koľajniciach vidí loptičku najskôr letieť rýchlosťou 20 metrov za sekundu a po odraze stáť. Družica Messenger, ktorej cieľom bol Merkúr, takto absolvovala medzi rokmi 2004 a 2011 jeden oblet okolo Zeme, dva oblety okolo Venuše a tri oblety okolo Merkúra. Slnečnou sústavou sa teda pri svojom spomaľovaní nacestovala až až. A celá táto idea bola použitá prvý krát v roku 1974 son- 4

dou Mariner 10. O basketbalke a pingpongáči Na obrázku vidíme ten istý efekt pri spoločnom odraze basketbalovej a pingpongovej lopty. Budeme popisovať zrážku dvoch telies, očíslovaných 1 a 2. Rýchlosť každého z nich pred zrážkou označíme v 1,2, po zrážke u 1,2 ich hmotnosti m 1,2. Pri zrážke platí zákon zachovania hybnosti m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2. (1) Okrem toho ak je zrážka pružná, platí zákon zachovania energie 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 1u 2 1 + 1 2 m 2u 2 2. (2) Ide o sústavu rovníc, mohli by sme si vyhrnúť rukávy a vyriešiť ju. Obr. 8: Katapultáž v podaní basketbalovej a pingpongovej loptičky. Basketbalová a pingpongová loptička padajú a tesne pred odrazom od podlahy majú rovnakú rýchlosť. Basketbalová lopta sa odrazí a pohybuje sa tou istou rýchlosťou smerom proti pingpongovej. Keďže je oveľa ťažšia, zrážka loptičiek vyzerá nasledovne. Basketbalka pokračuje ďalej a pingpongáč odletí trojnásobkom rýchlostí loptičiek. Skúste si premyslieť, ako by to vyzeralo keby sme pod basketbalovú loptu dali ešte jednu, oveľa ťažšiu loptu. Všeobecne o (pružných) zrážkach V poslednej časti sa pustíme do poriadnejšej analýzy zrážky dvoch telies. Už budeme písať aj zložitejšie rovnice, takže sa nenahneváme na nikoho, kto skončí s čítaním na tomto mieste. Obr. 9: Označenie pri zrážke dvoch telies. Netreba sa nechať pomýliť smerom šípiek. Teleso sa môže pohybovať doľava, aj keď je šípka nakreslená doprava, stačí aby bola patričná rýchlosť záporná. Avšak ukážeme si jednoduchší spôsob. Najskôr si predstavme špeciálny prípad, v ktorom sú rýchlosti v 1,2 tak dobre napasované, že celková hybnosť telies je nulová. Nakoľko platí zákon zachovania hybnosti, celková hybnosť musí byť nulová aj po zrážke. To vieme dosiahnuť dvomi spôsobmi. Prvý je, že sa rýchlosti telies nezmenia. To určite spĺňa zákony zachovania, ale pre nás to nie je zaujímavá situácia, lebo to vlastne znamená že k zrážke nedošlo. Druhý je, že každé z telies zmení svoju rýchlosť na opačnú, u 1,2 = v 1,2. Toto určite spĺňa zákon zachovania energie, nakoľko tá závisí len od veľkosti rýchlosti, ktorá sa nezmenila. Na tomto mieste môžeme vyhlásiť víťazstvo, sústava rovníc iné riešenie mať nemôže, keďže ide o kvadratickú a 5

lineárnu rovnicu. Špeciálny prípad nulovej celkovej hybnosti nám teda pomohol riešenie natypovať. Čo však keď celková hybnosť nie je nulová? Jednoducho ju vynulujeme. Prejdeme do sústavy, kde tak bude. Tejto sústave sa hovorí ťažisková, nakoľko v nej ťažisko stojí. Rýhlosť ťažiska dvoch telies je w = m 1v 1 + m 2 v 2. (3) V ťažiskovj sústave majú telesá rýchlosti Už vieme, že po zrážke a teda v T 1,2 = v 1,2 w. (4) u T 1,2 = v 1,2 + w (5) u 1,2 = v 1,2 + 2w. (6) Pred tým ako dosadíme rýchlosť ťažiska si premyslime, kde tu je prípad s Jupiterom. Keďže ten je oveľa ťažší ako družica, rýchlosť ťažiska sústavy je rýchlosťou Jupitera w = v 1. Potom dostaneme u 1 = v 1 + 2v 1 = v 1, u 2 = u 2 + 2v 1, (7) čo je presne to, čo sme dostali úvahou s vlakom. Teraz len stačí dosadiť rýchlosť (3) a dostaneme výsledok u 1 = m 1 m 2 v 1 + 2m 2 v 2, (8) u 2 = m 2 m 1 v 2 + 2m 1 v 1. (9) Môžete si skúsiť overiť, že tieto rýchlosti ozaj spĺňajú zákony zachovania (1,2), že limita malého m 2 a limita veľkého m 1 dá presne (7) a že prípad m 1 = m 2, v 1 = v, v 2 = 0 dá v 1 = 0, v 2 = v. A to je Newtonova kolíska, ktorú často vidíme na kancelárskych stoloch. A na tomto mieste našu cestu od Pluta ku kancelárskemu stolu skončíme obrázkom pre tých, ktorý nevedia čo to tá kolíska je. Obr. 10: Prechod do ťažiskovej sústavy, zrážka v nej a prechod späť. Obr. 11: Newtonova kolíska. 6