Journal of Physics: Conference Series PAPER OPEN ACCESS Fault tolerant controller for a class of additive faults: a quasi-continuous high-order sliding mode approach To cite this article: J Dávila et al 15 J Phys: Conf Ser 59 15 View the article online for updates and enhancements Related content - Structural Load Analysis of a Wind Turbine under Pitch Actuator and Controller Faults Mahmoud Etemaddar, Zhen Gao and Torgeir Moan - A fault identification technique for FBG sensors embedded in composite structures Gabriele Cazzulani, Simone Cinquemani and Marco Ronchi - Fault detection and fault tolerant control of a smart base isolation system withmagneto-rheological damper Han Wang and Gangbing Song This content was downloaded from IP address 15133 on 1/9/1 at :
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 Fault tolerant controller for a class of additive faults: a quasi-continuous high-order sliding mode approach J Dávila 1 J Cieslak,DHenry,AZolghadri 1 National Polytechnic Institute, México, ESIME - UPT, Section of Graduate Studies and Research Av Ticoman, Col San Jose Ticoman, Gustavo A Madero, México DF University of Bordeaux, IMS-Lab, Automatic Control Group, 351 cours de la liberation, 335 Talence, France E-mail: jadavila@ipnmx, jeromecieslak@ims-bordeauxfr, davidhenry@ims-bordeauxfr, alizolghadri@ims-bordeauxfr Abstract In this paper a fault tolerant control strategy that combines the backstepping procedure and the quasi-continuous high-order sliding mode controller is proposed The fault tolerance principle is based on a hierarchical application of the backstepping methodology ensuring the finite time convergence of the desired system states, in spite of the considered fault situations The additive effect of the faults and disturbances is canceled out by the hierarchical application of the quasi-continuous controller ensuring fault-tolerance The effect of Lebesgue measurable noise over the precision of the proposed controller is studied Simulation results based on a nonlinear model of the F1 jet fighter show the efficiency of the proposed techniques 1 Introduction فى م ف لى ف مو فك ( شء) ف م ش فء ل ف ى ف همح كم ك كى ف ء مم م ف م ن م لم ك مو ن ى فومق مه فل مك ف م -ن - ل ف»فو ىم مو مك م منم مو ل ف ]٣ ١[ ٢ م ى ف وه و لمى فك ف ى فن وكفم و ى属 لم فىك ف م موك شء ف ه ى هى مء لم فق و ى ه ف ك م ى ف وكف ف م ى ف مو ة ]٤[ م موك شء م ى كف ى ف م属 ف و فمو ى م ى كميق م ىه مو م مىوكف لم هى مل ى م ى وكم ك ق مك ف م فن م مىوكف ف属 م ى كف ف ف ى ف ك ل ف م ى ف ى ىوش ى ف ى فن م ف ى م مل فن م م ق ه ى فم ك ى م م属 ب م موك ى هفىل فن ف و ى属 م موك شء م ى كف هى مل م ى ف ف ك ة مل مم ن- فن مو ى م م مك ف ن م مو 属 ف ك هى مل ى مك ى م م مك ف ن م لم فم ك ى ف ن ىكى ى مو ن م مه فوك م م قف م كم ى فن مو فو ى ف مو مل ص م م ى ن فن وكفم لم فكىلمل م ف فو ن فم ق فن وكفم ن مك م م مو ى لمم ف ف ه م نم مو م ف مك ف ن م ل ف ى ىقف ]٥[ ى (ةءء) ى ف ة ف ى كم مء فء ف مو属 لم ف ى كف ى فو ى فوكم ى ف همح كم ف مىه ل و م هى مل م قف ىف ف موش م ىفن ى فى مل ف هى ف م م ف م هفىل ل ف كم مل ه ىوك ى属 ]٧[ ك كى ف لف فم ى ]٦[ ك ب لم فق م و مل ك ى فم ف شء م ى كف ى فو مهف ف لف يف مو م فو موش 属 من ف م ف ]٩[ هىلف ف ه ىلىو فن ل ف ]٨[ ك مو م م属 ب لم م م مق فك مل ه ى ف م ( فن ) ف ى مو ن م م مك ف ن م مو شء ل ف ةءء مو فو ى ف كى ى فم مو ى ق م ف ل و م م قف ىف ف مو ن ى يف م ق مو ى كف /ل ف ى ىكمل ملى م قف ىف ف م ف ف ى م ف ه ى ف م موك شء م ى كف ف م مو ن مك ف ن م ل ف ى ىقف ه ىمم ف ف ه ن م ق موش Content from this work may be used under the terms of the Creative Commons Attribution 3 licence Any further distribution of this work must maintain attribution to the author(s) and the title of the work, journal citation and DOI Published under licence by Ltd 1
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 ى فوكم ى ف همح ك-م ل ف ( ف مل ى كم مل) مك ف ن م ةءء مو و ق ككف ى م ى كف ف ف ه ى ك و ىو م للف مل ة ى م ك ى م ل لم ملى ك ممق فو ةءء 属 و 属 و ]١[ ى لمك ل ى ممق مكم فو مك ك م ى - م属 ل مو لم فق م ى وكم ى ف ى فق ه ف م فو لمهف ف مق فك ل ف كف م ى مك ف ن م شء ل ف فم ف مو ى ملف ممق فو ff م م قف ملى ك ]١[ م مهف ف م ك ن م وك لى ف ش ف ك مو م ل فو ى ىقف ه ى فلف م ى ى م ء ]١١[ ل و م ك م ى فلف ن لمى ف مق فك م موك هى مل ك م ى فلف ى فى ف ل ف مى ىف مك كى م ف ف ل ف مو م ى وكم ه ى م كفق لم ف ه ى مك ةءء ه ى ك م ك مو ىم و ى属 م فو مىل م موش م فم ى ن ى ف م ك فن ف كف و ى属 فمل ]١٣[ ]١٢[ ن م ه ى م كفق 属 م ء ]١٦ ١٤[ ١٥ 属 ى م ى م فم ى لمل م م م ممق و ء ]١٧[ ى لمك ل ى ممق فو م فم ى كفقلممن كى كى م ف ف ن م موك مى ىف مك لموك ف ل ف لموك ف مو ن ى فكمحى ملى كف م لم فق ك ه ى م كفق ف ى م م ى وكم ىوش ]١٨[ م فم ى مو ن لم ممق فو مك فق ىل ل ف ف ى ىللف ل ف ى فق م مو نى ملى فى م مffىل (حسدب) مل ح ه ىلى س مل د-وهىب 属 ف ة ى ف ك 属 ف ك مو م ف ى ىكفن لم ى م ف فى م مffىل حسدب ن مق مو م م属 ب لم م مق ى فك ف هى -لم ك ف ن م لمل ق مو فن ن فم ف مو ى كمffم م ى م م فم ن ى ف ف هى ى ى م مو مهلم属 م ى وكم ه ى م كفق ف م ف ن م م مل ن ى ك 属 ىو ن ى قى ك ىف مو ه ى م ف وك ة ى 属 ىو ن ى قى ك موش م ى م م ى لمل ق ف ى ى م قفى فكىه وكم ]١٩[ مو ك (حسدب) مل ح ه ىلى س مل د-وهىب ى ك-ى ف مو ىء (ى :ل ن属 م ى ى لم مىوكف مق فك مك مه م ك م ى -م ى مح فو 属 و ى ة م ك شء لمى ف ى ى م ى م م فم لمل ق ن كمffم مو ل كمس (ىى فن ن ف ك ف ن مك م ى م مو ن لم» ف ف لم مل ى ٣ ى كمس م م ف م ق مو م ىه ٢ ى كمس 属 ن ف لم»ى فه ى م ف موش ى كم ف ىء لم م م م ف م ى ف ف ل ف هى مل ف م مو属 هم ف شء لم مو نف ك ىف مي ١٦ ء مو ن مل فم ى ف م موك لم مو ن ك مىكffiم مو 属 و ٤ Fundamentals ل ف م لمك ه ى م كفق مو ه ى لم هى مل ى و ى ه ف ف م فن لم موش مل ه ىلى مل -وهىو ى ك-ى ف مو و ى ه ف ى ك ىل ىف 属 ه ى ىق ك م ف و ى ه ف م موش فى م مffىل مل ف ىق ف مل -ه ىلى مل -وهىو مو ل ف م ك ى كمس ىو ى لمقى ك مل 1 Quasi-continuous controller [] : ى ف م مو ق لمقى ك مل م فم ى مو ملى ك مج پx = a(t, x)+b(t, x)u ى ك ن فم ى و م ف a(t, x), b(t, x) :R + R n R ل ف x R n u R م مو 属 ملى لم م مل ف 属 م ك مل ه ىلى مل - ف ىق ف تم ى ك-ى ف تم موش ]٢١ ٢[ م فو م فم ه مم همل م ى ف م و ى 属 مكفن ه ىلى ن م و ى قف م م ى م ى مح و ى n 属 مم همل م ى ف م م م فو σ(t, x) :R + R n R م قفى ف مو مك ل ى مج : ى ف م ه ى 属 ن مو ممح ى ف ى مى u ى ك مو كم م σ (n) = h(t, x)+g(t, x)u ى ك م مو م مو属 (n) ن ل ف مو ن م ى ف ى مل و - n σ h(t, x) =σ (n) ل ف u= g(t, x) = موش M <K m g(t, x) K C, h(t, x) مى ى ف م ى ه ى属 ن مو ن ى ف ل ف σ(n) u م ى مح ى م» ه ى ق لمى ف ى م ك مل ه ىلى مل - ف ىق ف ى ك-ى ف
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 ى ك-ى ف مو ن ى ف م م م م ى كم موش σ م قفى ف ه ىلى ف فك كى م مه مو م ى : 属 ن ف م ىه ى σ م قفى ف كى م مه ف ن م ك ϕ,n = σ, N,n = σ (١) ψ,n = ϕ,n /N,n = هى σ, (٢) ϕ i,n = σ (i) + β i N (n i)/(n i+1) i 1,n ψ i 1,n, (٣) N i,n = σ (i) + β i N (n i)/(n i+1) i 1,n, (٤) ψ i,n = ϕ i,n /N i,n (٥) ى ك-ى ف مو فو مكى خ مق م ى ى م ف n 1 β 1,, β ل ف ١ n, =١, i م مو 属 ف لم ىف ق ى م ك ه ىلى - n u = αψ n 1,n (σ, پσ,, σ (n 1) ) (٦) م وك م ف 1 n β 1,, β م م ف ف ه ى مو ل ف α>c لملى فو ]٢[ ى 属 و ف 属 ة ه ى 属 ن مو مك ن م (٦)-(١) ق لم محمل 属 ف ك مو مو in the given order مه ف مىكffi م ى م ى مح ى = (n) = σ = پσ = σ ى ف م Arbitrary-order exact robust differentiator [] م ى مكك مو ن ى ىقف ىف ف مو م ى م م ك ى ك-ى ف مل و - n م قف موش ك كم مل ة σ م قفى ف ه ىلى مو ن ١ n مل مو م ى ف ى مل ق ز كف مل د- ف ىق ء 属 م属 مو م ى م ى مح ى ل ف كف م م ى ف ى مل وك لم مق فك ]٢٢[ فى م مffىء ن م ى كم - ه ى属 ن مو ى لم م م مق فك فى م مffىل مل و - n موش پz = z 1 κ n M 1/n z σ n n+1 sign(z σ), پz 1 = z κ n 1 M 1/(n 1) z 1 پz n 1 ), پz n sign(z 1 پz i = z i κ n i M 1/(n i) z i پz i 1 n i n i+1 sign(zi پz i 1 ), پz n = κ Msign(z n پz n 1 ) (٧) مو ى مه ف م ى كم م وك مق M ل ف κ i مىكffiم ك ف ك م ى ى م قف ى ن ى σ م قفى ف ه ىلى مو ن م ى ف ى مل و - n مو فو ى ف مو مل ص ]٢٢[ مل م ىه ]٢٢[ ه ىل ككء (n) M σ : ىف ك ه ى属 ن مو ن ى ف M ىفه مو لمل ق ىفه مو ن ى كم م م قى مو ن م ى = ٨ 5 =٥,κ =٣,κ 3 =٢,κ =١٥, κ 1 =١١, κ κ مكى خ M م م ف ف ن مكى وك م قف ى ف ق لم مق فك (٧) فى م مffىل مو مك مب i κ م ى م ى مح ف م نف م م ف مى ى ف م ه ى属 ن مو م ى م م فم ن مك م قف مو ى فو : مك مى ف z i σ (i) = i =,, n (٨) ى ف ك ك م م ن م ى مح ل ف م ى م م فم م ى مى ى فملى- ن مك م م موش ن لمل ق ف م ف ف ل ف ]٢٢[ م ى ف ى مل لم ف ى م مو ى م لمل ق ف م فك ]٢٢ ٢[ ٢١ م ف ى م م ى ف ى مل تم ى تم مو م فو م ك مو ن كف ككف فى م مffىل مو ن م لم ىق ك مو ف م م م م ق ل ف ى ف ف م موش مو 属 م مو ى ]٢٢[ لم ك ىل ى م ممق فو م ك مه و ه ىلى - n ف ل ف مل -وهىو مو ن مك مه م ك م ى -م ى مح مو ن مك م م ك ف ف م ى م ى ف ف م فى م مffىل مل -ه ىلى 3
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 3 Problem statement : ن ف ه فى م 属 ه ى 属 ن مو ى م فم ى ف ملى ك مج پx 1 = g 1 (x 1,t)+B 1 (x 1,t)x + f c1 (t)+w 1 (t) پx i = g i (x 1,, x i,t)+b i (x 1,, x i,t)x i+1 + f ci (t)+w i (t) (٩) پx n = g n (x 1,, x n,t)+b n (x 1,, x n,t)u + f cn (t)+f a (t)+w n (t) مو ى x T =]x T 1 x T x T n [, x X Rn p u R p ١ n, =٢, i x i R p م مو属 属 م ف B i (x 1,, x i,t) R p p ل ممح كم و فم ى 属 م ف ( ) i g ف هى ك ف كى ف ة فن م ف (t) fل ف a (t) f ci مك فق ىل م ف (t) w i مكى ف ى ك ن ف ه ى مل فك (t) f a ل ف ( ى ف م م م م ى ىللف ف ى) فن م ك مو م مل (t) f c1,(t), f ci فن ف كف ن ف ك ف ى كى م ه ى属 ن مو ن ى ف فن لم ملى ك موش d (n i) dt (n i) (f c i (x 1,, x i,t)+w i (t)) Γ + i (١) f ci (x 1,, x i,t)+w i (t) C n i, i =١,, n ١ (١١) f ci (t)+f a (t)+w n (t) Γ + n (١٢) م مو属 Γ + i فم ف و ى属 ى ك ن ن م مو م مل C k ل ف ف ك ف فك م ى ى 属 ف ى م ى ف ى مل لمل ق k مو ن ملى مل ى ]٢٣[ م م ى ىء مو ى ل مل م ف ى ف م فى م مffىء ف مو و ى属 ملىك ى ك ى ى ىء ك ى ف هى ى ك ىل م ى ىقى ى لم ملى ك ف فو ف لم ف ى ة ى ك م ف ملى ل فو- وهى مو مو属 ى t ى ف-ى م م و属 مو ى م م ىمو ل ف ى ن مك م ى م مو 属 ف ه ل و م هى مل ف ملى ى 属 ىو ن ىف مو 1 y = x ك مو م ىا مو ن م ى ى c y مك م منم لم ى مل و ف ن ه ى كف م ى -م ى مح كف م مو مم ف ف ه م قف ل ف x كم م ف م و属 موش (t) w i مك فق ىل مو ل ف (t) f ci,(t) f a فن مو ن مك م كك م قف ىف ف لم ف م ف u ف هى ك مو Fault tolerant control design -ى ف ن ى فكى ف فكىوك ف مىو مو لم فق هم ف ه ى م كفق مو ى كم ىو ة لمى ف ى هى مل موش هى مل ك ف م فن مو لمى ف ى ]١٩[ م ك ى ك ك مو ن م ك مو ن م وكفم 1 Control Design ف هى ك مو ه ى y c ف هى ل ف ك و ف ن ه ى كف مو ى م ى كميق ك موش م ى كم لم محمل i φ ك ف ى ن مى م ف وه و لم هى مل ى u ف هى ك موش u ه ىلمكم مو ن ه ى كف مو ملى ف هى ك ف ى مو م وكفم ف فو ف 属 ف وك ى م مو ن م ف ىل ك و ى x = φ 1 属 ك ف ى ف ف م محمء ١ م س φ 1 = B1 1 (x 1,t)] g 1 (x 1,t)+v 1 [ (١٣) α 11 ψ n 1,n (σ 11,, σ (n 1) 1 1 ) v (n 1) 1 = α 1p ψ n 1,n (σ 1p,, σ (n 1) 1 p ) (١٤)
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 属 م مو σ 1 = y y c n ) ى ك م مو ١) مو ن ل ف (n ف هى مو ن م ى ف ى مل و ( ١ v 1 مل -وهىو ى ك-ى ف مو ه ى مو ن لم هى مل مق ى ψ n 1,n ( ) 属 م فم ى مو ل ف 1 f c1 (t)+w مك فق ىل ل ف فن مو ن م ف م ك مل ى م ك مل ه ىلى ف x i = φ i ك ف ى مو م ى كم م محمء ى م س φ i = Bi 1 (x 1,, x i,t)] g i (x 1,, x i,t)+v i [ (١٥) α i1 ψ n i,n i+1 (σ i1,, σ (n i) i 1 ) v (i 1) i = α ip ψ n i,n i+1 (σ ip,, σ (n i) i p ) (١٦) مل ى مو ن لم هى مل مق ى ψ n i,n i+1 ( ) 属 ك فم ى مو ل ف i 1 σ i = x i φ م مو 属 i f ci (t)+w مك فق ىل ل ف فن مو ن م ف م ك ف لم هى مل ى ك موش م س 属 م مو σ n = x n φ n 1 u = Bn 1 (x 1,, x n,t)] g n (x 1,, x n,t)+v n [ (١٧) α n1 ψ,1 (σ n1 ) v n = (١٨) α np ψ,1 (σ np ) Theorem 1 Let us consider that inequalities (1) to (1) are satisfied for system (9) The backstepping based design (13)-(1) gurantees, after a finite-time transient, the exact tracking of the command signal y = y c, even in the presence of faults and disturbances Proof و ى ه ف مو فو مكى ه ى م م ى ى ى مك مه م ك ن ن مو و ى属 ه ىلممك م نم م و ء م ك مل ه ىلى ى ك-ى ف مو ن مك ف ى ف م م ق لم ك ى ن فم ق لم ىف ق مق فك م ى ف ى مل م مو م ى ف ى مل ى ل ف σ م قفى ف مو م مك ف ى فى م مffىل مل ح ه ىلى س مل د-وهىب مو ن مك ف ى ف م م كى م مه ف ن م ى ف ى مل مل -وهىو مو ن ى ف ى م مو ن مك مه م ك مو م م属 ىء م ىه ى y c ف هى ل ف ك مو y مو ن مك مه م ك ن ن مو فو م نف σ م قفى ف فم ق لم ىف ق لفم ف ممق م فو مكفن مو ن م ى ف ى مل مل -وهىو مو فو ه ى ف فى م مffىل مو ن م ى ف ى م موش (i) e i = z i σ ل ف e = z σ ف م ى ف ى م مو م محمل مج : ى م م ه ى属 ن مو ق م ىه ى كى ف ل پe = e 1 κ n M 1/n e n n+1 sign(e ), پe 1 = e κ n 1 M 1/(n 1) e 1 پe n 1 ), پe n sign(e 1 پe i = e (i+1) κ n i M 1/(n i) e i پe (i 1) n i n i+1 sign(ei پe (i 1) ), پe (n 1) = κ Msign(e (n 1) پe (n ) )+σ (n) (١٩) ف مو ى (n) σ م 属 مو ن مك ف فم ف مو م ىه فو ف م ف ى ى ة ف ى م ى 属 مق فك م ى ف ى م مو مك مو ىف مك ى ى ف م ىو (١٩) ن ى ف م 5
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 : ف ن ى ك ى فى م مffىل پe = e 1 κ n M 1/n e n n+1 sign(e ), پe 1 = e κ n 1 M 1/(n 1) e 1 پe n 1 ), پe n sign(e 1 پe i = e (i+1) κ n i M 1/(n i) e i پe (i 1) n i n i+1 sign(ei پe (i 1) ), پe n κ Msign(e n پe (n 1) ) ± ] σ (n), σ (n) [ (٢) مو م نم مو ]٢٢[ ى لم م م م مو و ى 属 ملىك ك ى ك ى فى م مffىل م ىه م قء م ى م ى مح ى لمو ى قف م ف (٨) مى ى ف م Step 1 Define the tracking error as σ 1 = y y c = x 1 x 1c By differentiating this term is obtained: پσ 1 = g 1 (x 1,t)+B 1 (x 1,t)x + f c1 (t)+w 1 پx c1 Using the virtual control x = φ 1 and by differentiating the above given equation (n-1) times the following equation is obtained: [ σ (n) d n 1 ] 1 = dt n 1 (f c 1 (t)+w 1 ) + v (n 1) 1 Given that the inequality (1) is satisfied for all i =,, n ١, the above given equality could be written in a differential inclusion form as: σ (n) 1 [ Γ + 1 Γ + ] (n 1) 1 + v 1 Then, by design, each α 1i,i=١,, p satisfies α 1i > Γ + 1 The rest of the proof is a direct consequence of [] Step i Let us introduce the ith component of the virtual tracking error as σ i = x i φ i 1 The first derivative of σ i is given by: پσ i = g i (x 1,, x i,t)+b i (x 1,, x i,t)x i+1 + f ci (t)+w i φ پ i 1 Replacing x i+1 by the virtual control (15) and differentiating the equation until the control appears (ie differentiating n-i-1 times), the following equality is obtained: [ ] σ (n i+1) d n i i = dt n i (f c i (t)+w i ) + v (n i) i Using again inequality (1), the above given equality can be written in a differential inclusion form as: σ (n i+1) i [ Γ + i Γ + ] (n i) i + v i Notice again that α i is designed to compensate for the bounded fault and disturbance, the rest of the proof is also a direct consequence of [] Step n Finally, the nth component of the virtual tracking error takes on the form: σ n = x n φ n 1
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 Its dynamics is given by the following expression: پσ n = g n (x 1,, x n,t)+b n (x 1,, x n,t)u + f cn (t)+f a (t)+w n φ پ n 1 By substitution of the control (17) the following equality is obtained: پσ n = f cn (t)+f a (t)+w n φ پ n 1 + v n As in the above described n ١ steps, the fault is bounded according to (1), therefore α n should be chosen such that α n > Γ + n, then the equality could be written as a differential inclusion: پσ n [ Γ + n Γ + ] n + vn Notice that in Step n, the discontinuous control v n compensates for the faults f cn (t)+f a (t) and the disturbance w n that are only need to be bounded The rest of the proof is a consequence of [] Noise effect analysis ɛ م ى لمل ق ف و ى属 لم فم مق g مج ]٢[ ل ف ]٢٢[ ن م ف ى م ه ى属 ن موش فى م مffىل ق لممح ى ف م ف مى ى ف م ى ه ى属 ن موش + ɛ ف فك م ى ى 属 ف ن + ɛ> ɛ (٧): z i g (i) μ ( i ε + ) (n i+1)/(n+1), i =,, n م ى ف ى مل مو ن كف ككف مو م نم موش م م ف ف فى م مffىل مو ل م مل μ i م مو属 (٧) ى M ن ى كم م مو ل م مل ى ف ى م (1 n) jk,, σ غσ jk, پσ ن ى ف ى م مو م ى م (١٧)-(١) و ى ه ف مو ن ى فكى ف موش j k ىو كف م ف ىقىو ى م ى ن مك م ى م مو م م属 و (٧) ن فم ق لم مق ل ك م ق فى م مffىل مو وه و لم من ف ى كمffم م ى مو م نم موش م ى ف ى مل مو ن ى ف ى م مو ى م ك مو ن كف ككف مو فو ]٢[ ن 属 ن ى م م ىو ى م ك مو : 属 ن ف م ىه ى م ى كى ى ى م مل لمل ق ف ن مك م م σ jk μ jk (ɛ + ) n i/n, i =١,, n ١ م مو属 μ jk م ك مو ل ف فى م مffىل مو ن م م ف ف مو ل م مل فو ف فك م ى ى م ف 5 Simulation example 51 System and fault modeling لمى ف ى و ى ه ف مو ه ل و م لم مو ن ى فكى ف مو م ف ى مل ة ف ن مل فم ى ف ى مو ل م ك فو ]٢٥[ ل ف ]٢٤[ ق لم م م مل مو لف ٢٩٥ = etrim δ لف =١٦٨٣ trim α trim = θ ن ١ =و ٧ =وكفح ف م وهمح مي ١٦ -ء ق م ىه ى كى ف ل موش = rtrim β trim = p trim = q trim = r trim = ϕ trim = δ atrim = δ پy = g 1 (y, t)+b 1 (y, t)z + f c1 + w 1 (٢١) پz = g (y,z,t)+b (y,z,t)δ + f c (٢٢) δ پ = A δ (δ u) (٢٣) ( ]لف [ ى y =] ϕ α β[ T م ه ف ل ف ك مو ن لم ك ى y R 3 كم مو م مو 属 ] /لف [ ى م ف ف ه ف ن كم ف ى z R 3 ( م ى كم م م ه ف ى ملى كف ف ن م ه ف م ه ف ى ى كممخمل ك ن كم ف ى δ R 3 ( م ى كم م م ف 属 ف ل ف وك ى T z) p[= q ]r 7
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 ك ف ى u R 3 ( م ى كم م ى كممخمل ملل ل ف ف م م م ىف T (δ =]δ u,δ e,δ r [ ]لف [ ى مهف فل ق لم فك فن م ك مو م ف f c1 f c R 3 ى ف كف لمى ف كم فن ف كف ن كم مو ى f a R 3 ل ف مك فق ىل ن كم مو ى w 1 R 3 م ف م ىو م قفى م مffىل ل ف 属 م ف g (y,z,t) R 3 ل ف g 1 (y,t) R 3 ى ك ن- كم فم ى موش لم ملى ك ى ة مكى ف ف ه ى ل ف 属 م ف 3 3 B 1 (y, t) R 3 3 B (y,z,t) R ل ف م قف فم م ف,y,z δ م قفى ف مو ف فو : 属 ن ف م ىه م ف ى ك ن فم ى موش g 1 (y, t) = ٨٣٥٨٩ ١١٥y,B 1 (y, t) = ٢٩٧y 3 g (y,z,t) = g 1 g g 3,B (y,z,t) = ١ y 3 ٩٩٣٧ y +٨٥ ٩٩٧٣ ٥٩٣٣ ١١٧٧ ١٩٥ ٤١٢٥ ٦١٥٥ ٢٢٤z 3 1 ٤٣٢٤z 3 ٥٣٤٨y 3 ٨٢٢٥z z ١٣٤٥z 1 z = 1 g ١٢٦z + ٣٧٢٤y ١٩٤١٦٦ ) 1 ٨٣٣(z 3 z 3 =٩٥٨٦z 1 z g ٦٤٩z 3 1 +٢٣٤z 3 +١٧٦٧y 3 +١٣٤٥z z ٧٢٥٦z 1 z = 3 g A δ = diag{٢, ٢, ٢} ]٣٤,٥٢ [ u δ م ف ف كف ن ى ف ى ى فكى و ]٢٦[ م فكى وكم ه ىل ككء ى y كم مو ن مه ف ه ى ف م موش فىلف ٥٢[ ] ٥٢, r δ ل ف ٥٢[ ] ٥٢, e δ فىلف ٣٤[ ] ٣٤, β ل ف ٣٤[ ] ٣٤, α ١١٥[ ] ١١٥, ϕ م ى م ىه م ف مى ى ف ه ى مخ لم ى مء م مح مك م منم ل ف ك م ى - فم ف مق (t) y c مج : 属 ن ف م فم ى مل ل كم ن y c,1 y 1 = s +s+, y c, y = s +3s+, y c,3 19 y 3 = s +1s+19, (٢٥) مو م م ى ف ه ك موش م ى كم م β ل ف,ϕ α ل م ك y 3 ل ف y 1 y, م مو属 ه ى ٣ =١, ٢, i =, i t ى y ci y مى م» م ه ى كف مو ن مك مه م ك مك م كك فن ل ف مك فق ىل ف م م ن م ى ى (١٧) ى ف لم هى مل u ف هى ك مو :لم ملى ك م ف ل ف ك ى ف ى ه ى属 ن مو م موك لم مو م ف ش 属 ٣ ى =١٦٨٣rad) trim α م ف ى ف كم م و ى属 ( ل ف ك كف ف-ن -م ه ف موش (ى) ف م ى م ى ه ى ل ل ف + مى ى ف ل ف مل ى ف لف ١ ن م ى ف ل ن ل كم م ى كم م ٩[ ]٦, ل ف ٣[ ], ]٩ ١[ ن ف م ى م ى مو ه ى ل مل ى ف ١rad ن م م ى ل ف ك م ه ف- موش (ىى) م ى ف ن م» ى ل ف ك م ه ف ى ملى موش (ىىى) ل ف ك مو م مح لم م ف (٢٥) ى ف م ى م مح ى ف ه ى مخ موش مو ن ى ىقف属 مو م ف ى لم ملى ك ى مهف فل م فق نف ك ىف ف 属 ىو ة ل ى وك ن كمffم مو ]٢٥[ 属 ى م مو ه ىل ككء م ك ف م فن لم لم ك مق فك (٢٧)-(٢٦) ن f c ل ف f c1 م مو属 فن م ك ف م ى مم مق فك مهف فل ن : ى ف م ه ى مل ه ى属 ن مو ه ى ق f c1 = gى) 1i (y,z,δ,t)+ىb 1i (y,z,δ,t)z) (٢٦) f c = gى) i (y,z,δ,t)+ىb i (y,z,δ,t)δ) (٢٧) م ف (y,z,δ,t)) (y,z,t)+ىb (B ل ف (y,z,δ,t)) (y,t)+ىb 1 (B 1 مكى ف مو فو لم ملى ك ى ة ف ه ى ( ) 1 gى( ١ (t ٥ +( ) gى( ١٥ 11 (t ١ = ( ) 1 gى ( ) 1 Bى( ١ (t ٥ +( ) Bى( ١٥ 11 (t ١ = ( ) 1 Bى ( ) gى( ١ (t ٥ +( ) gى( ١٥ 1 (t ١ = ( ) gى ( ) Bى( ١ (t ٥ +( ) Bى( ١٥ 1 (t ١ = ( ) Bى (٢٤)
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 ل ف ى ك ن م ى ف ى (τ) ١ م مو属 = ( ) 11 gى = ( ) 1 gى, ٥٣٤β +٢٤٦٦δ u +١٨٦δ r ٣١ = ( ) 1 Bى, 3 3 = ( ) 11 Bى ٥ = ( ) 1 gى ٨٢٤β +٧١p +٥٥r ٥٨٢β +١p +١٣٣r = ( ) gى, ١٨٥٦α +٤٢q ٤α ٨٨٥δ e = ( ) 1 Bى ٥٨٩ ٣٧٧ = ( ) Bى, ٩٧٥ Remark 1 The cases of total failure of ailerons, elevator and rudder are not considered For the total failure case, the control surfaces are completely disabled and can not generate rotational torques This faulty situation cannot be recoverable [5] م فك مم و مو ن نف ك ىف مو ن م م ه ىل م ك مو ل ف ف هى ل ف ك موش ل ف فن ف كف مك فق ىل ن مك م م مو ى م م فو مكى خ ١ هىء ى 属 و م ف ل ف ك مو ن ه ى كف م فى ف ف ملى م ك لم مو فن م ك ن مك ف فم ف مو ق لم كمffف ى ف هى ل ف ك مو ن ه ى كف مو فو مكى خ ف هى ف كف مو كم م و ى 属 م ى ى م ى ى م ك لم مو ( ٥ = ل ف ١٥ = مم ) فن مى م ف مو ى م م ف ف ن م مو م فك مو ف ن فو ف م ف ى ى ة فن مو ن α ىفه مو ف ل م ك فو ٢ = y ٢, M = z =١٥,M y =٦,α z =١٥,α δ α مو ن مك ف ى م مffىل مو ن M ل ف م ك ى ك-ى ف مو ن مك ف ى م مffىل -ق مو م مب y ل ف,δ z م ف ىل ك ن م وكفم ن ف ى م مffىل مل ح ه ىلى س مل د-وهىب ٢ هىء ى لم م م م ف م ه ى كف موش ى ن ك ف لى ف لمل ك ى ممق م فو م مل ى ف م م م ىف مو ٣ هىء مو ة 3 ١ مل مو ن م ف م ه ى كف مو ف فو مكى نف ك ىف مو ن ف لى ف مو ى م ف ى كممخمل مو ف 属 و م ف ى كممخمل ملل ل ف 1 1 φ [rad] 1 1 5 α [rad] 15 1 5 1 1 x 1 3 3 Reference Fault free case Actuator fault Component fault β [rad] 1 1 1 1 Time [s] Figure 1 م ه ف مو ن ه ى كف ش ( ϕ, α, β) 9
1 1 1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 3 x 1 3 Error on φ [rad] 1 1 3 1 x 1 3 Error on α [rad] 1 3 5 1 1 1 x 1 3 Tracking errors Fault free case Actuator fault Component fault Error on β [rad] 1 3 1 1 Time [s] Figure م ه ف مو ن م ه ى كف ش ( ϕ, α, β) δ u [rad] 1 1 δ e [rad] 1 1 Fault free case Actuator fault Component fault δ r [rad] 1 1 Time [s] ( ملل δ r ف م م δ e م ىف (δ a ى كممخمل ن كمض 3 Figure 5 Noise effect م ى ف ى ء م ى لمل ق ف ق لم كمffف م ف م قفى ف مو فو 属 ملى ك مج : ن ه ى 属 ن مو م ف كمffم م ى مو ه ىل ك ى ف هى لم فم مو y = y + ٢٥ ) ى + ٣ (( ١٨t ) ى ٢ + ٤ ٥ ) ك + ٣ (( ٢٥t ) ى z = z + ٣٩ ٤ ) ى + ٢ (( ٢٣t ) ى + ٢ ) ك + ٤ (( ١٥t ) ى δ = δ + ٤ ٦ ) ى +٦ (( ٥t ) ى ف م فن مو ن م م ه ىل م ك مو م م فم ى و ى属 م فك مو ء م ى ى لم ىف ق ى ه ى كف كمن م ف فو مكى خ ٤ م هىء مو ى 属 و ى م ك فو نى م م قى ى ى ٥ م هىء ى 属 و ى م ه ى كف موش م ى لمل ق مو ن موش ٤٢ ى كم ق س ى لم ىف م ف属 ى ف + ɛ ف ى ى م ه ى كف ف ى ف مو ى كمffم م ى مو فو فم ك ى ة ٦ م هىء مو ى لم م م م ف ى كممخمل لمل ف ك م ك مو ق لممحى ف Acknowledgments -ش ءخد ١٥١٨٥٥ ف ه ش ءخد ن فىك ف مح مو مهلم 属 كف و ف موش (٣٦٣٦٤ ف ه :مك ف ء سزخ ٢٩٢٤٧ ف ه مل شع ءخد مل ف ىك ى ة ل ء) سزخ ٢١٥٧٧١ ف ه مل خذة-ذةس ل ف 1
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 1 1 φ [rad] 1 1 1 1 5 α [rad] 15 1 5 5 x 1 Reference Fault free case Actuator fault Component fault β [rad] Time [s] 1 1 Figure Tracking of the variables ϕ, α and β in the presence of bounded noise 3 x 1 Error on φ [rad] 1 1 1 1 1 x 1 Error on α [rad] 1 1 Tracking errors 5 x 1 Error on β [rad] Fault free case Actuator fault Component fault Time [s] 1 Figure 5 Tracking errors for the angles ϕ, α and β in the presence of bounded noise 1 u δ [rad] 5 5 1 1 1 1 1 1 e δ [rad] 5 15 5 15 Fault free case Actuator fault Component fault 1 r δ [rad] 5 5 1 15 Time [s] 1 1 Figure Vector of deflections (δ a ailerons, δ e elevators, δ r rudder) in the presence of bounded noise 11
1th European Workshop on Advanced Control and Diagnosis (ACD 15) Journal of Physics: Conference Series 59 (15) 15 doi:11/17-59/59/1/15 References [1] M Blanke, M Kinnaert, J Lunze, M Staroswiecki, and J Schroder, Diagnosis and fault tolerant control New York, USA: Springer, [] H Noura, D Theilliol, J Ponsart, and A Chamseddine, Fault-tolerant control systems: Design and practical applications London, UK: Springer-Verlag, 9 [3] A Zolghadri, D Henry, J Cieslak, D Efimov, and P Goupil, Fault Diagnosis and Fault-Tolerant Control and Guidance for Aerospace Vehicles: From Theory to Application, 1st ed, ser Advances in Industrial Control London: Springer-Verlag, 1 [] Y Zhang and J Jiang, Bibliographical review on reconfigurable fault-tolerant control systems, Annual Reviews in Control, vol 3, no, pp 9 5, [5] M Staroswiecki and D Berdjag, A general fault tolerant linear quadratic control strategy under actuator outages, International Journal of Systems Science, vol 1, no, pp 971 95, 1 [] K Zhou and Z Ren, A new controller architecture for high performance, robust, and fault-tolerant control, IEEE Trans Automat Contr, vol, no 1, pp 113 11, 1 [7] M Staroswiecki, H Yang, and B Jiang, Progressive accommodation of parametric faults in linear quadratic control, Automatica, vol 3, no 1, pp 7 7, 7 [] J Cieslak, D Efimov, and D Henry, Transient management of a supervisory fault-tolerant control scheme based on dwell-time conditions, 1, published online DOI: 11/acs5 [9] J Cieslak, D Henry, and A Zolghadri, Fault tolerant flight control: From theory to piloted flight simulator experiments, IET Control Theory & Applications, vol, no, pp 151 1, 1 [1] D Efimov, J Cieslak, and D Henry, Supervisory fault-tolerant control with mutual performance optimization, International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, vol 7, no, pp 51 79, 13 [11] M Bodson and J Groszkiewicz, Multivariable adaptive algorithms for reconfigurable flight control, IEEE Trans Contr Syst Technol, vol 5, no, pp 17 9, 1997 [1] G Tao, S Joshi, and X Ma, Adaptive state feedback and tracking control of systems with actuator failures, IEEE Trans Automat Contr, vol, no 1, pp 7 95, 1 [13] G Tao, S Chen, and S Joshi, An adaptive actuator failure compensation controller using output feedback, IEEE Trans Automat Contr, vol 7, no 3, pp 5 511, [1] X Tang and G Tao, An adaptive nonlinear output feedback controller using dynamic bounding with an aircraft control application, International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, vol 3, no 7, pp 9 39, 9 [15] Z Zhang and W Chen, Adaptive output feedback control of nonlinear systems with actuator failures, Information Sciences, vol 179, no, pp 9, 9 [1] Z Zhang, S Xu, Y Guo, and Y Chu, Robust adaptive output-feedback control for a class of nonlinear systems with time-varying actuator faults, International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, vol, no 9, pp 73 759, 1 [17] W Wang and C Wen, Adaptive actuator failure compensation control of uncertain nonlinear systems with guaranteed transient performance, Automatica, vol, no 1, pp 91, 1 [1] J Davila, Exact tracking using backstepping control design and high-order sliding modes, IEEE Trans Automat Contr, vol 5, no, pp 77 1, 13 [19] A Estrada and L Fridman, Quasi-continuous HOSM control for systems with unmatched perturbations, Automatica, vol, no 11, pp 191 1919, November 1 [] A Levant, Quasi-continuous high-order sliding-mode controllers, IEEE Trans Automat Contr, vol 5, no 11, pp 11 11, 5 [1], Homogeneous quasi-continuous sliding-mode control, Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol 33, pp 13 1, [], High-order sliding modes: differentiation and output-feedback control, International Journal of Control, vol 7, no 9-1, pp 9 91, 3 [3] A Filippov, Differential Equations with Discontinuos Right-hand Sides Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 19 [] M Pachter, P Chandler, and M Mears, Reconfigurable tracking control with saturation, AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol 1, no 5, pp 11 1, 1995 [5] Y Shtessel, J Buffington, and S Banda, Multiple timescale flight control using reconfigurable sliding modes, AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol, no, pp 73 3, 1999 [] S Stachowiak and J Bosworth, Flight test results for the f-1xl with a digital flight control system, NASA Dryden Flight Research Center, Edwards, California, Tech Rep NASA/TP--1, March 1